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采用窗函数（Hanning窗）法设计出某200阶FIR低通滤波器，截止频率为200Hz,分析频率为2KHz,其幅频曲线及相频曲线如图3所示。

　　图3低通滤波器的幅频特性和相频特性

利用该FIR低通数字滤波器对图2所示发动机噪声信号进行差分滤波，滤波后的波形如图4所示

　　图4差分滤波后的发动机噪声信号

对比图3和图4所示波形可以看出，差分滤波后，信号变得光滑了许多，原来的毛刺被滤掉 了。但同时也可以看出差分滤波方法存在两个问题：一是滤波后的信号相对与原信号而言，发生了相移；二是滤波后的信号在起始部分，波形畸变较为严重。在信号 处理中，如果对信号的相位有特殊的要求，相移问题需要引起高度的注意。而起始部分的畸变是由于叠代过程中，没有考虑滤波器的初始条件，刚开始点数少，没能 用到滤波器全部系数的缘故。大多情况下，这种畸变可以接受，但当数据较短，而滤波器的阶数又较高时，这种畸变会带来较大的负面影响。

如果输入信号为一单位脉冲信号，即

x（n）=1,n=1

0,n≠1

那么，滤波器的输出为其脉冲响应。本文所用200阶FIR低通数字滤波器的脉冲响应如图5所示。

　　图5滤波器的脉冲响应3零相位数字滤波算法及其实现

3.1 零相位数字滤波的算法

为了克服差分数字滤波中存在的上述两个问题，可以采用一种零相位滤波的方法，该方法的基本思路 是：先确定出滤波器的初始条件，然后将原序列的首尾进行扩展，把扩展后序列通过滤波器，将所得结果反转后再次通过滤波器，最后将所得结果再反转，并去掉首 尾的扩展部分，即可得到零相位滤波后的输出序列。本文采用四次差分滤波方式给出一种便于实现的详细算法，假设输入信号为x（n），n=0,1,…，P.

（1） 编写差分滤波函数DiffFilter（b,a,x），调用参数如前所述。

（2） 对于IIR滤波器通常有M=N,求滤波器的初始条件e（q），q=0,1,…，N-1,这里记E=[e（0），e（1），…，e（N-1）]T,则有

　　E=1+a（1）1-1…0

　　a（2）01…0

　　MMMOM

　　a（N）00…-11× b（1）-b（0）a（0）

　　b（2）-b（0）a（1）

　　M

　　b（Nn）-b（0）a（N）（3）

（3） 对原输入序列x（n）的首尾进行扩展，在x（n）的前面添加3N个数，在后面添加3N个数，扩展后的序列记为x′（n），n=0,1,…，P+6N.

　　x′（n）=2x（0）-x（3N-n）

　　x（n-3N）

　　2x（P）-x（P-1-（n-P-3N-n））

　　n3N

　　3NnP+3N

　　P+3NnP+6N（4）

（4） 进行正向滤波：先用b,a和x′（n）调用DiffFilter（b,a,x）函数，计算x′（n）通过

H（z）=∑Mm=0b（m）z-m/（1+∑Mm=1a（m）z-m）（5）

的输出y′（n），然后生成一长度为P+6N+1的单位脉冲信号h（n），用z,a和h（n）调用DiffFilter（b,a,x）函数，计算h（n）通过

H（z）=∑M-1m=0y′（0）e（m）z-m/（1+∑Mm=1a（m）z-m）（6）

的输出y′（n），并记y（n）=y′（n）+y″（n）。

关键词： IIR 滤波器 零相位 数字滤波 四次差分 滤波算法