数字控制式LLC谐振变换器建模分析与验证
编者按：针对半桥LLC谐振变换器的建模及其验证展开分析，同时分析了数字控制对系统稳定性造成的影响，并给出采用数字控制时系统稳定性的解决方案。首先，通过扩展函数描述法得到传统的模拟域数学模型，并在Saber中搭建仿真模型，利用小信号分析法验证该数学模型的准确性，从而得出得到的系统数学模型具有参考性，由此提供了环路设计的基础;其次，采用数字控制，考虑到其离散特性，分析了数字控制对系统稳定性的影响，并通过Matlab仿真验证了该理论的正确性，最终设计出性能良好的数字PID补偿器;最后，针对实际应用场合，搭建实验平台，进
通过调节系数Ku使得系统获较好的低频增益和穿越频率点。如图3所示为补偿前后系统的幅频、相频增益特性曲线。
对比补偿前后系统频域特性，经过补偿的系统特性明显得到了改善，穿越频率[4]在11.8kHz处，相位裕度约为87.5o，符合模拟域的环路设计要求。
1.2 数字控制对环路稳定性的影响
由于数字控制的离散特性，须将所设计的模拟PID控制器在z域下进行稳定性的判定。作为理想的PID控制器，须满足以下条件：一是补偿后控制系统在z域稳定;二是控制器具有可实现性，本节主要通过z变换实现最优PID参数的整定[5]。加入补偿器后时域控制框图如图4所示。
分别对功率级传递函数Gp(s)、补偿器传递函数Gc(s)进行z变换，得到其z域的闭环特征方程：
(5)
从而得到补偿后的系统z域闭环零极点分布图，如图5所示。
根据z域稳定性条件[6]：闭环传递函数的极点应位于单位圆内。可以看出，此时在数字离散域中系统是不稳定的，因此必须选用适合于数字控制的PID控制器设计方法。
与传统的模拟控制器相比，数字控制器由于DSP等数字器件的固有特性，需要在设计时进行相关的考虑。数字控制核心DSP采样输出电压获得反馈信号，经过补偿器控制后作为调制信号[7]，从而控制输出电压恒定，由此可知，更新驱动脉冲的调制信号与实际采样信号之间存在一个周期的延时，这可以通过加入零阶保持器来模拟。并且由于理想采样开关的存在，使得控制器具有1/Ts的增益特性[8]，因此可以得到数字PWM在连续时域设计时的等效模型。
由上面的介绍可知，与数字PWM相关的延时效应可以通过加入ZOH来等效，实际上，采用数字控制器时，还存在另外一种延时效应，即控制算法的计算延时[3]，这是由处理器从采样到输出一个新的调制量所需要的计算时间决定的，通常假设该控制延时时间为一个调制周期，即Ts，将此延时加入在模拟控制器设计中，可以通过加入延时环节
来等效，从而得到以下表达式来模拟数字控制带来的影响。
(6)
通过以上分析，本文以z域稳定性作为设计前提，通过降低系统带宽解决控制器计算延时等带来的问题，设计穿越频率为
，即开关频率的二十分之一处，保证有足够的相位裕度。考虑数字影响后，系统开环传递函数[9]为：
(7)
将用有理函数之和来等效，得到等效后开环传递函数：
(8)
得到补偿后的开环传递函数：
(9)
在Matlab中绘制补偿前后系统开环传递函数的Bode图，如图6所示。
如图6，补偿后系统的开环穿越频率为6.72kHz，相位为88.5°，满足设计要求。同样地，仍需对所设计数字补偿器进行离散域稳定性的验证，对补偿前开环传递函数Gpd(s)以及PID控制器Gcd(s)进行z变换，并乘以
得到z域传递函数。据此绘制其零极点分布图如图7所示。
从图7可以看出，经过重新设计后的PID控制器满足离散控制要求，所设计的系统是稳定的。
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